A obra em que Eratóstenes descreve a sua experiência, o Geographiká, foi perdida (só se conhecem fragmentos dos três volumes que a constituíam). A fonte que se lhe refere é Cleomedes que viveu cerca de 200 anos depois. Assim, algumas questões mantêm-se incertas como o valor da unidade de medida por ele usada (o estádio). Confiemos, portanto, nas palavras de Carl Sagan que nos conta de uma forma admirável como Eratóstenes realizou a sua medição:

“A descoberta de que a Terra é um mundo pequeno, assim como tantas outras descobertas humanas importantes, foi feita no antigo Próximo Oriente, num tempo a que alguns homens chamam o século III a.C., na grande metrópole da época, a cidade egípcia de Alexandria. Aí viveu um homem chamado Eratóstenes. Um contemporâneo levado pela inveja, chamou-lhe Beta, a segunda letra do alfabeto grego, porque, dizia ele, Eratóstenes era segundo em tudo, mas para nós evidentemente que Eratóstenes era Alfa em quase tudo.


 Astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral e matemático, os títulos dos livros que escreveu vão de Astronomia a Sobre a Libertação da Dor. Era também o diretor da grande Biblioteca de Alexandria, onde, um dia, leu num livro de papiro que no posto fronteiriço sul de Siena, perto da primeira catarata do Nilo, ao meio-dia de 21 de junho, varas verticais não faziam sombra. No solstício de verão, no dia mais longo do ano, à medida que se aproximava o meio-dia, as sombras das colunas do templo ficavam mais pequenas. Ao meio-dia desapareciam. Nessa altura podia ver-se o reflexo do Sol na água no fundo de um poço. O Sol estava então a pino. Era o tipo de observação que qualquer outra pessoa ignoraria. Varas, sombras, reflexos em poços, a posição do Sol - que importância poderiam ter assuntos do quotidiano assim tão simples?
Mas Eratóstenes era um cientista e as suas reflexões sobre estes lugares-comuns mudaram o mundo; de certa forma, fizeram o mundo. Eratóstenes teve a presença de espírito para fazer uma experiência: observar se em Alexandria, ao meio-dia de 21 de junho, varas verticais davam sombra. E descobriu que sim.
Eratóstenes perguntou a si próprio como era possível que, no mesmo momento, em Siena uma vara não desse sombra e em Alexandria, mais para norte, uma vara desse uma sombra bem visível. Imaginem um mapa do antigo Egito com duas varas verticais do mesmo tamanho, uma espetada em Alexandria, a outra em Siena. Suponham que, a dado momento, nenhuma delas dá sombra. É perfeitamente compreensível - desde que a Terra seja plana. O Sol estaria então na vertical. Se as duas varas dessem sombras de tamanho igual, isso também faria sentido numa Terra plana: os raios do Sol teriam a mesma inclinação em relação às varas. Mas como era possível que no mesmo instante não houvesse sombra em Siena e em Alexandria ela fosse bem visível?

Na sua opinião, a única resposta possível era a superfície da Terra ser curva. E não só: quanto maior fosse a curvatura maior seria a diferença de comprimentos das sombras. O Sol está tão longe que os seus raios são praticamente paralelos ao atingir a Terra. Varas colocadas em diferentes ângulos em relação aos raios solares dão sombras de diferentes comprimentos. De acordo com a diferença observada no comprimento das sombras, a distância entre Alexandria e Siena teria de ser cerca de 7° ao longo da superfície da Terra; ou seja, se imaginarmos as varas a estenderem-se até ao centro da Terra, elas intercetar-se-iam num ângulo de 7°. 7º são cerca de um quinquagésimo de 360°, a circunferência total da Terra. Eratóstenes sabia que a distância entre Alexandria e Siena era aproximadamente 800 km, porque contratou um homem para a percorrer a pé! 800 km vezes 50 são 40000 km: essa devia ser, portanto, a circunferência da Terra .
Era a resposta. Os únicos instrumentos de que Eratóstenes dispunha eram varas, olhos, pés e inteligência, além do gosto pela experiência. Com eles calculou a circunferência da Terra, com uma pequeníssima percentagem de erro, um cálculo notável para 2200 anos atrás. Foi a primeira pessoa a medir com precisão o tamanho dum planeta.“


Cosmos, Carl Sagan

 

erasesquemaAnalisando com mais detalhe os cálculos e conceitos matemáticos envolvidos na experiência, podemos esquematizá-la de acordo com a figura ao lado.
No instante da experiência, o raio da Terra que passava por Siena, [CS], tem a direção dos raios luminosos do Sol ( muito aproximadamente paralelos dada a grande distância entre a Terra e o Sol ). Daí, para achar o comprimento da circunferência do meridiano terrestre de Siena, tudo o que restava fazer era:

  • utilizar outra cidade no meridiano de Siena (na experiência de Eratóstenes - Alexandria );
  • medir o ângulo a da sombra projetada por uma vara em Alexandria (do paralelismo dos raios solares sabe-se que a=b);
  • medir a distância entre Siena e Alexandria.


Eratóstenes encontrou o valor de 1/50 do ângulo giro para a (7º 12’), assim o arco de meridiano compreendido entre Siena e Alexandria (a distância medida sobre a superfície da Terra entre as duas cidades) terá de ser também 1/50 do perímetro total do meridiano. Como conhecia essa distância (5000 estádios), encontrou para a circunferência terrestre 50X5000=250000 estádios, cerca de 40 000 km.
ealexsienaO cálculo de Eratóstenes, extraordinariamente preciso atendendo à época e condições como foi realizado, foi afetado, contudo, por algumas imprecisões. A distância entre Alexandria e Siena é de 4 628 estádios e não 5 000 estádios. Se olharmos qualquer mapa moderno (Siena é a atual Assuão), veremos que essas duas cidades não estão num mesmo meridiano; há uma diferença de cerca de 3 graus de longitude.

Determinações posteriores do perímetro da Terra
No cálculo do perímetro da Terra não houve melhorias de precisão durante centenas de anos. Em 1671, Jean Picard (astrónomo francês) estabeleceu a medida do comprimento de um grau de meridiano em 111 km, o que dá um valor de 111 X 360 = 39 960 km para o perímetro da Terra.
Em 1686, Newton mostrou que a Terra não era exatamente esférica pois tinha um achatamento polar. A partir desse momento a comunidade científica passou a interessar-se muito pela obtenção de medidas da superfície terrestre em diversas regiões. Em França várias foram as comissões formadas com esse intuito. Das mais importantes destacam-se as que mediram o meridiano no Peru (entre 1735 e 1745) e na Lapônia: ambas confirmaram Newton. Uma consequência importante foi a introdução do metro em 1791, definido como 1/10 000 000 do quadrante do meridiano de Paris.

Como a forma da Terra não é perfeitamente esférica (diversas irregularidades incluindo o achatamento polar) passou-se a referir as suas dimensões relativamente a um elipsoide, denominado Elipsoide de Referência, que se aproxima tanto quanto possível da superfície da Terra.
elipsoideNo início do século XX um novo nível de precisão foi atingido porque pela primeira vez equipas de cientistas efetuaram medidas múltiplas de grandes arcos da superfície terrestre.

 Desde essa altura e com o auxílio de satélites (1.º satélite geodésico – Echo 1, 1960) novas medidas, cada vez mais rigorosas e que varrem toda a superfície terrestre têm sido estabelecidas.
Hoje em dia, com o aumento de precisão das medições, procura-se estabelecer a verdadeira superfície da Terra. Estes novos dados levaram a estabelecer uma nova superfície de referência - o geoide. Trata-se de um modelo que tem em conta a influência da gravidade terrestre e lunar nas diferentes regiões. É mais irregular do que o elipsoide de revolução, usado anteriormente para aproximar a forma do planeta, mas consideravelmente mais suave do que a própria superfície física terrestre. Esta nova visão da superfície terrestre afasta-nos da visão esférica tradicional e leva-nos para uma imagem de uma “Terra Batata” que mostra como varia consideravelmente a gravidade em vários pontos do planeta.


300px Gravity anomalies on Earth

Verifica-se que não há muitas áreas da superfície terrestre que sejam quase coincidentes com estas superfícies de referência. Constatou-se, contudo, que essa quase perfeita coincidência se verifica num arco de meridiano com origem no equador e que se prolonga ao longo da bacia do rio Nilo até uma latitude de 55º já no território da Rússia. Feliz coincidência, pois a zona da experiência de Eratóstenes está precisamente aqui incluída!