CURVAS

Pode-se entender o conceito matemático de linha curva, ou simplesmente curva, pensando na trajetória de um ponto em movimento. Trata-se, portanto, do lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de acordo com uma determinada lei. Esta definição intuitiva permite incluir no termo as linhas retas e as poligonais. A ideia de curva é mais ampla do que a do gráfico de uma função, pois, uma curva pode ser fechada, umacurvas1 trajetória que se repete, em espiral, ou intersetar-se sobre si própria. Destacam-se as curvas em espaços de duas dimensões (curvas planas) ou três dimensões (curvas espaciais). As linhas curvas no plano foram, historicamente, classificadas em duas formas, curvas algébricas e curvas transcendentais, decorrendo do tipo de expressão matemática que as definem. Com o aparecimento da geometria fractal, surgiram as curvas fractais, objetos constituídos por infinitas partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original, constituindo um padrão repetitivo, obtido por processos recorrentes.

Qualquer ponto no plano pode ser representado por um par ordenado de números chamados coordenadas.  Analogamente, num espaço tridimensional a cada ponto corresponderão três coordenadas.

Destes sistemas vejamos dois que são muito utilizados: Cartesiano e Polar.

 

Coordenadas cartesianas

curvas2Neste sistema considera-se no plano dois eixos perpendiculares que se cruzam num ponto que  será a origem das coordenadas. Ao eixo horizontal é dada a designação de eixo das abcissas e à distância horizontal entre determinado ponto e o eixo vertical é dada a designação de abcissa (representada usualmente pela letra x). Ao eixo vertical é dada a designação de eixo das ordenadas e à distância vertical entre determinado ponto e o eixo horizontal é dada a designação de ordenada (representada pela letra y). Assim, cada ponto num plano pode ser definido por um par ordenado do tipo ( x , y ) em que x é a abcissa e y é a ordenada. Da mesma forma, num espaço tridimensional, qualquer ponto pode ser representado por uma tripla ordenada do tipo (x,y,z), em que cada coordenada representa a distância mínima entre o ponto e o plano formado pelas eixos que representam as outras duas coordenadas.

 

 

 

Coordenadas Polares

 Como vimos para determinar um ponto no plano são necessárias duas “coordenadas”. No caso  das coordenadas polares, define-se cada pontocurvas3 através de uma distância e um ângulo. A primeira, usualmente representada por r, é a distância do ponto à origem, também denominada pólo do sistema, daí o nome de coordenadas polares. Quando a distância r não é nula o segmento que une a origem ao ponto e o semi-eixo positivo Ox formam um ângulo orientado, usualmente denotado por θ. Conhecidos r e θ o ponto fica perfeitamente determinado (no caso da origem do referencial basta considerar r=0).

Podemos usar os diferentes sistemas de coordenadas para definir curvas ou, de uma forma mais geral, lugares geométricos, através de condições que relacionam as coordenadas dos pontos que integram esses “lugares”. No caso particular das curvas essas condições são em geral equações denominadas por:

Equação cartesiana: envolvendo apenas as variáveis x,y e que estabelece a condição necessária para que um ponto com as coordenadas cartesianas (x,y) pertença ao lugar geométrico.

Equação polar: envolvendo apenas as variáveis r, θ e que estabelece a condição necessária para que um ponto com as coordenadas polares (r,θ) pertença ao lugar geométrico.

Equações Paramétricas: Neste caso as coordenadas x e y dos pontos integrantes do lugar geométrico são expressos em função de uma terceira variável ou parâmetro, muitas vezes denominado t. Assim, obteremos um par de equações da forma x = f(t) e y = g(t). Cada valor de t determina um ponto (x, y), no plano. Quando t varia, o ponto (x, y) = (f(t), g(t)) varia e traça o lugar geométrico. O parâmetro t não representa necessariamente o tempo. Em muitas aplicações das curvas, quando estas reproduzem a trajetória de um ponto, pode-se, de facto, interpretar (x, y) = (f(t), g(t)) como a posição desse ponto móvel no instante t.